Ενα ενδιαφερον συμπερασμα του θεωρηματος Borsuk–Ulam ειναι η προβλεψη του, για το οτι καθε χρονικη στιγμη στην επιφανεια της γης, υπαρχει ενα τουλαχιστον μερος οπου το αντιδιαμετρικο του εχει ακριβως την ιδια θερμοκρασια και την ιδια ατμοσφαιρικη πιεση!
Το αντιδιαμετρικο ενος μερους πανω στην επιφανεια της γης ειναι το μερος που προκυπτει απο την τομη, της ευθειας που περνα απο το εν λογω μερος με το κεντρο της γης, και της επιφανειας της σφαιρας. Οπως φαινεται στο σχημα.
Το συμπερασμα αυτο μπορει να εκπλησσει αλλά ειναι πληρως αληθες. Πληρως αληθες αν υποθεσουμε οτι οι τιμες της θερμοκρασιες αλλά και οι τιμες της πιεσης ειναι συνεχεις πανω στην επιφανεια της γης, μεταβαλλονται με συνεχη τροπο δηλαδη(και οχι με διακριτες τιμες απο σημειο σε γειτονικο σημειο), κατι που βεβαια θεωρουμε οτι ισχυει ετσι και αλλιως.
Βεβαια δεν γινεται να βρεθει ποια ειναι αυτα τα σημεια πρακτικα διοτι 1ον η θερμοκρασια και η πιεση σε μια περιοχη μεταβαλλονται συνεχως, 2ον γιατι ο αριθμος των μετεωρολογικων σταθμων που εχουμε σε ολη την γη καλυπτει ενα ελαχιστο μερος της επιφανειας της και 3ον ακομα και αν τα λυναμε τα πρωτα 2 οι σταθμοι δεν βγαζουν με ακριβεια την θερμορκασια και την πιεση αλλά με καποιο σφαλμα.
Δηλαδη αφου τα αντιδιαμετρικα σημεια της Ελλαδας ειναι μεσα στον Ειρηνικο Ωκεανο ανατολικα της Νεας Ζηλανδιας, μπορει για μια χρονικη στιγμη ενα απο τα μερη(ή το μόνο μερος) στην γη που το αντιδιαμετρικο του να εχει την ιδια θερμοκρασια και ατμοσφαιρικη πιεση με αυτο, να ειναι καποια περιοχη της Ελλαδας με την αντιδιαμετρικη της στον Ειρηνικο Ωκεανο αλλά εκει περα δεν υπαρχουν σταθμοι οποτε δεν θα μπορουσαμε να το ξερουμε.
Το θεωρημα Borsuk–Ulam αναφερει οτι για καθε συνεχη συναρτηση $latex \displaystyle f:{{S}^{\nu }}\to {{R}^{\nu }}$, με $latex \displaystyle x\in {{S}^{\nu }}$ και $latex \displaystyle -x\in {{S}^{\nu }}$, υπαρχουν 2 αντιδιαμετρικα σημεια $latex \displaystyle x\in {{S}^{\nu }}, -x\in {{S}^{\nu }}$ της υπερσφαιρας $latex \displaystyle {{S}^{\nu}}$ που απεικονιζονται σε ενα σημειο του Ευκλειδιου ν-χωρου, δηλαδη υπαρχει τουλαχιστον ενα $latex \displaystyle x\in {{S}^{\nu }}$ ετσι ωστε f(x) = f(-x).
Αυτο μετεωρολογικα σημαινει 2 ενδιαφεροντα πραγματα:
α) Οτι καθε χρονικη στιγμη, 2 τουλαχιστον περιοχες του ισημερινου, που θα ειναι και αντιδιαμετρικες, εχουν την ιδια θερμοκρασια.
β) Και το προαναφερθες παραπανω οτι καθε χρονικη στιγμη στην επιφανεια της γης υπαρχει ενα τουλαχιστον μερος οπου το αντιδιαμετρικο του εχει ακριβως την ιδια θερμοκρασια και την ιδια ατμοσφαιρικη πιεση!
Η αποδειξη για το α) προφανης αφου:
Εστω συνεχης συναρτηση f με $latex \displaystyle f:{{S}^{1}}\to {{R}^{1}}$ και εστω συναρτηση g με $latex \displaystyle g:{{S}^{1 }}\to {{R}^{1 }}$ και g(x)= f(x) – f(-x).
Τοτε ισχυει οτι:
g(x) = -g(-x) για καθε $latex \displaystyle x\in {{S}^{1 }}$ ή αλλιως $latex \displaystyle \{x\in {{R}^{2}}:\left\| x \right\|=r\}$ με r η ακτινα της γης αν μετατρεπαμε το ελλειψοειδες σχημα της γης τοπολογικα ισοδυναμα σε σφαιρα.
•Αν ισχυει οτι $latex \displaystyle \exists {y}\in {{S}^{1 }}:g({y})= 0$ τοτε φυσικα g(y)=0 αρα f(y) – f(-y) = 0
Αρα υπαρχει $latex \displaystyle y\in {{S}^{1 }}$ με f(y) = f(-y)
Δηλαδη υπαρχουν 2 αντιδιαμετρικα σημεια πανω στον ισημερινο που εχουν ιδια θερμοκρασια(αφου μπορουμε να θεωρησουμε ως f(x) την συναρτηση της θερμοκρασιας).
•Αν ισχυει οτι $latex \displaystyle \forall x\in {{S}^{1}}\Rightarrow g(x)\ne 0$ τοτε για $latex \displaystyle {{x}_{o}}\in {{S}^{1}}$ :
Εστω χωρις μειωση της γενικοτητας οτι $latex \displaystyle g({{x}_{o}})>0$ αρα και $latex \displaystyle g(-{{x}_{o}})=-g({{x}_{o}})<0$
Οριζεται ομως διαστημα [$latex \displaystyle g(-{{x}_{o}}) , g({{x}_{o}})$] αφου ισχυει οτι g συνεχης και g(x) = -g(-x) για καθε $latex \displaystyle x\in {{S}^{1 }}$ και $latex \displaystyle -x\in {{S}^{1 }}$ αρα συμφωνα με το θεωρημα ενδιαμεσης τιμης:
$latex \displaystyle \exists y\in {{S}^{1}} :g(y)=0$
Αρα ατοπο αφου ειμαστε στην περιπτωση που η g(x) ειναι διαφορη του μηδενος για καθε x.
Οποτε ισχυει η 1η περιπτωση μόνο, αρα παντα υπαρχει σημειο y πανω στον ισημερινο οπου f(x) = f(-x), αρα παντοτε υπαρχουν 2 αντιδιαμετρικα σημεια πανω στον ισημερινο με ιδιες θερμοκρασιες.
Η αποδειξη του β) ειναι πιο δυσκολη και μπορει να ανατρεξει κανείς πχ στο βιβλιο “A users’ guide to algebraic topology”, Dodson για αυτην.
Βλεπουμε λοιπον οτι μερικες φορες τα μαθηματικα μας οδηγουνε σε καποια απροσδοκητα συμπερασματα!
